Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, $SA=3a$, tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $C(2a;2a;0)$, $S(0;0;3a)$, $M(a;0;0)$, $N(a;a;0)$.
a) $V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot 3a\cdot \frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^3$ → đúng.
b) $(SAB)$ là mặt phẳng $y=0$ (chứa $AB$ và $SA$), nên $d(C,(SAB))=CB=2a\ne a$ → sai.
c) $(SMN)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MS}=(0;a;0)\times (-a;0;3a)=(3a^2;0;a^2)\sim (3;0;1)$. Vectơ chỉ phương của $SA$ là $\vec{u}=(0;0;1)$. $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n}||\vec{u}|}=\frac{1}{\sqrt{10}}$, nên $\theta =\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}\approx 18,43^{\circ }>18^{\circ }$ → đúng.
d) $\overrightarrow{BC}=(0;2a;0)$, $\overrightarrow{SM}=(a;0;-3a)$, $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{SM}=(-6a^2;0;-2a^2)\sim (-3;0;-1)$, $|\vec{n}|=a\sqrt{10}$. Lấy $B(2a;0;0)$, $S(0;0;3a)$: $\overrightarrow{BS}=(-2a;0;3a)$. $d(BC,SM)=\frac{|\overrightarrow{BS}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|6a^2-3a^2|}{a\sqrt{10}}=\frac{3a}{\sqrt{10}}\ne 3a\sqrt{10}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot 3a\cdot \frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ là mặt phẳng $y=0$, khoảng cách từ $C$ bằng $CB=2a\ne a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(SMN)$ là $(3;0;1)$, $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{10}}$, $\theta \approx 18,43^{\circ }>18^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $d(BC,SM)=\frac{3a}{\sqrt{10}}\ne 3a\sqrt{10}$.