Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, $SA\perp (ABCD)$. Có $SA=\frac{3\sqrt{30}a}{10}$; $AB=a;AD=3a$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BD$. Số đo góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là

Cho khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn bằng $9a^2$, đáy bé bằng $3a^2$ và chiều cao bằng $a$. Thể tích khối chóp cụt đều đã cho bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là một hình vuông cạnh a, các mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy một góc bằng $30^{\circ }$. Thể tích hình chóp đã cho bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, biết $AB=a$, $AC=2a$ và $A^{\prime }B=3a$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $P\left(x_0;f(x_0)\right)$ là đường thẳng đi qua $P$ với hệ số góc bằng

Đạo hàm của hàm số $y=x.e^x$ là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, $SA=3a$, tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$.

Một vật chuyển động trên đường được xác định bởi công thức $s(t)=t^3-3t^2+7t-2$, trong đó $t>0$ và tính bằng giây và $s$ là quãng đường chuyển động được của vật trong $t$ giây tính bằng mét.

Chu kì bán rã của chất phóng xạ Plutolium ${}^{239}Pu$ là 24360 năm (tức là một lượng chất ${}^{239}Pu$ sau 24360 năm phân hủy còn một nửa). Sự phân hủy này được tính theo công thức $S=A{e}^{-rt}$, trong đó $A$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $r$ là tỉ lệ phân hủy hàng năm, $t$ là thời gian phân hủy, $S$ là lượng còn lại sau thời gian phân hủy $t$. Hỏi 20 gam ${}^{239}Pu$ sau ít nhất bao nhiêu năm thì phân hủy còn 4 gam?

Cho lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh 2, tâm $O$ và $ABC=120^{\circ }$. Biết rằng góc giữa cạnh bên $A{A}^{\prime }$ và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Đỉnh $A^{\prime }$ cách đều các điểm $A,B,D$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình $h(t)=10-4,9t^2$, ở đó độ cao $h$ so với mặt đất tính bằng mét và thời gian $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của vật tại thời điểm vật chạm đất.

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có độ dài cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $\sqrt{3}$. Gọi $O$ là tâm của đáy $ABC$, gọi $d_1$, $d_2$ lần lượt là khoảng cách từ $A$ và $O$ đến mặt phẳng $(SBC)$. Tổng $d=d_1+d_2$ là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác vuông tại $S$, hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng đáy là điểm $H$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $HA=3HD$. Biết $SA=2a\sqrt{3}$ và góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $30^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp đã cho.

Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là 21 m và cạnh đáy dài 34 m. Góc nhị diện tạo bởi hai mặt bên có chung một cạnh của kim tự tháp có số đo bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=9x+7$.