Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AB\parallel CD$, $AB=2CD$. Gọi $M$ là trọng tâm của $\Delta SCD$ và gọi $SI=(SAC)\cap (SBM)$, với $I\in (ABCD)$. Hãy tính $\frac{IA}{IC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ trong mặt phẳng đáy: $C=(0,0,0)$, $D=(1,0,0)$ (vậy $CD=1$), $A=(a,1,0)$, $B=(a+2,1,0)$ (vì $AB\parallel CD$, $AB=2CD=2$), và $S=(0,0,1)$. Trọng tâm của $\Delta SCD$ là $M=\left(\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $C$ với hai vectơ $\overrightarrow{CA}=(a,1,0)$, $\overrightarrow{CS}=(0,0,1)$ có phương trình: $x-ay=0$.

Mặt phẳng $(SBM)$ đi qua $S$ với hai vectơ $\overrightarrow{SB}=(a+2,1,-1)$, $\overrightarrow{SM}=\left(\frac{1}{3},0,-\frac{2}{3}\right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2,-(2a+3),1)$, phương trình: $2x-(2a+3)y+z-1=0$.

Giao tuyến $SI$: thay $x=ay$ vào phương trình mặt phẳng $(SBM)$: $-3y+z-1=0\Rightarrow z=1+3y$. Tại $z=0$ (mặt đáy): $y=-\frac{1}{3}$, $x=-\frac{a}{3}$, tức $I=\left(-\frac{a}{3},-\frac{1}{3}\right)$.

Kiểm tra: $I=\left(-\frac{1}{3}\right)(a,1)$ nên $I$ nằm trên đường thẳng $AC$, kéo dài qua $C$, với $\frac{IC}{AC}=\frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{IA}{IC}=\frac{AC+IC}{IC}=\frac{1+1/3}{1/3}=4$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $\frac{IA}{IC}=4$.