Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ và $BC$. Gọi $E$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với cạnh $SA$. Biết tỉ số $\frac{SE}{EA}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{m}{n}$ là phân số tối giản$)$. Tính $2m+n$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ vectơ với $S$ là gốc: $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$. Khi đó: $M$ trung điểm $SB$: $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\vec{b}$; $N$ trung điểm $SD$: $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})$; $P$ trung điểm $BC$: $\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$. Gọi $E\in SA$ với $\overrightarrow{SE}=\alpha \vec{a}$. Vì $E\in (MNP)$ nên tồn tại $u,v$: $\alpha \vec{a}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{u}{2}(\vec{a}+\vec{c}-2\vec{b})+\frac{v}{2}\vec{c}$. So sánh hệ số: hệ số $\vec{b}$: $\frac{1}{2}-u=0\Rightarrow u=\frac{1}{2}$; hệ số $\vec{c}$: $\frac{u}{2}+\frac{v}{2}=0\Rightarrow v=-\frac{1}{2}$; hệ số $\vec{a}$: $\alpha =\frac{u}{2}=\frac{1}{4}$. Vậy $\frac{SE}{SA}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{SE}{EA}=\frac{1}{3}$, tức $m=1,n=3$ và $2m+n=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 6789, Phần III câu 3: 5).