Rút gọn biểu thức $A=\sin \left(\frac{2\pi }{3}-\alpha \right)-\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\alpha \right)$ được kết quả là $A=k.\sin \alpha$ với $k\in \mathbb{Z}$. Tìm $k$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức hiệu hai sin: $\sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$ với $u=\frac{2\pi }{3}-\alpha$, $v=\frac{2\pi }{3}+\alpha$. Khi đó $A=2\cos \frac{2\pi }{3}\sin (-\alpha )=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot (-\sin \alpha )=\sin \alpha$. Vậy $A=1\cdot \sin \alpha$, suy ra $k=1$, trùng với đáp án của đề (mã đề 6789, Phần III câu 2: 1).