Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,CD,SA$.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Chứng minh SB//(MNQ).
c) Tìm giao điểm của SD và mặt phẳng (MNQ).

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải PHẦN IV - Câu 3:

a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD):
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) đều chứa điểm S. Đáy ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, tức $O=AC\cap BD$, với $O\in (SAC)$ và $O\in (SBD)$.
Vậy giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.

b) Chứng minh SB // (MNQ):
Xét tam giác SAB: Q là trung điểm SA, M là trung điểm AB nên QM là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra $QM\parallel SB$.
Vì $QM\subset (MNQ)$ và $SB\not\subset (MNQ)$ nên $SB\parallel (MNQ)$. Đpcm.

c) Tìm giao điểm của SD và (MNQ):
- Trong mặt phẳng đáy: $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. M là trung điểm AB, N là trung điểm CD nên $MN\parallel AD\parallel BC$. Đường MN cắt đường chéo BD tại E — tâm hình bình hành, trung điểm của BD (do tính đối xứng tâm qua E: M đối xứng N, B đối xứng D). Vậy $E\in MN\subset (MNQ)$ và $E\in BD\subset (SBD)$, với $\frac{BE}{BD}=\frac{1}{2}$.
- Vì $SB\parallel (MNQ)$, $SB\subset (SBD)$ và (SBD) cắt (MNQ) theo giao tuyến d đi qua E, nên $d$ là đường thẳng qua E và song song với SB.
- Gọi $P=d\cap SD$, khi đó P là giao điểm của SD và (MNQ).
- Trong mặt phẳng (SBD): vì EP // SB nên tam giác DEP đồng dạng tam giác DBS, với $\frac{DE}{DB}=\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{DP}{DS}=\frac{1}{2}$, do đó $\frac{SP}{SD}=\frac{1}{2}$, tức P là trung điểm của SD.

Vậy giao điểm của SD và (MNQ) là trung điểm P của SD, với $\frac{SP}{SD}=\frac{1}{2}$ (SP : PD = 1 : 1).