Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM lần lượt cắt đoạn SB, SD tại các điểm $B^{\prime }$, $D^{\prime }$ khác S. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\frac{S{B}^{\prime }}{SB}+\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$ có dạng $\frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính tổng $S=a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{SA}=\vec{a}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}$, do đó $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{d}-\vec{a})$. Đặt $x=\frac{S{B}^{\prime }}{SB}$, $y=\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$ với $0<x,y\le 1$. Vì $A,M,B^{\prime },D^{\prime }$ đồng phẳng, tồn tại $\alpha ,\beta ,\gamma$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$ sao cho $\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{d}-\vec{a})=\alpha \vec{a}+\beta x\vec{b}+\gamma y\vec{d}$. Suy ra $\alpha =-\frac{1}{2}$, $\beta x=\frac{1}{2}$, $\gamma y=\frac{1}{2}$, và $\beta +\gamma =\frac{3}{2}$, tức $\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}=\frac{3}{2}$ hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$, tức $x+y=3xy$. Suy ra $y=\frac{x}{3x-1}$ với $x\in \left[\frac{1}{2};1\right]$. Xét $f(x)=x+\frac{x}{3x-1}$, có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(3x-1{)}^2}\ge 0$ trên $\left[\frac{1}{2};1\right]$ nên $f$ tăng, max tại $x=1$: $f(1)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ (khi đó $y=\frac{1}{2}$). Vậy giá trị lớn nhất là $\frac{3}{2}$, $a=3$, $b=2$ nguyên tố cùng nhau, $S=a+b=5$. Kết quả trùng đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần III câu 2: 5).