Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $E$, $F$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$, $SC$, $SD$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $ON$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ vectơ: lấy $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AD}=\mathbf{d}$, $\overrightarrow{AS}=\mathbf{s}$, gốc tại $A$. Khi đó $O=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}$, $M=\frac{\mathbf{s}}{2}$, $N=\frac{\mathbf{s}+\mathbf{d}}{2}$, $P=\frac{\mathbf{b}}{2}$, $Q=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{s}+2\mathbf{d}}{4}$.
a) $E,F$ là trung điểm $SB,SC$ nên $EF\parallel BC\subset (ABC)$, mà $EF\not\subset (ABC)$ → $EF\parallel (ABC)$. Đúng.
b) Ta có $\frac{\mathbf{b}}{2}=1\cdot \frac{\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}+1\cdot \frac{\mathbf{s}}{2}+(-1)\cdot \frac{\mathbf{s}+\mathbf{d}}{2}$ với $1+1-1=1$, tức $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}$... chính xác là $P=O+M-N$ (tổng hệ số bằng 1), suy ra $P$ nằm trong mặt phẳng $(OMN)$. Đúng.
c) Hai vectơ chỉ phương của $(OMN)$: $\overrightarrow{OM}=\frac{\mathbf{s}-\mathbf{b}-\mathbf{d}}{2}=(\mathbf{s}-\mathbf{b})-\mathbf{d}$ và $\overrightarrow{ON}=\frac{\mathbf{s}-\mathbf{b}}{2}$ đều là tổ hợp của $\mathbf{s}-\mathbf{b}=\overrightarrow{BS}$ và $\mathbf{d}=\overrightarrow{BC}$ — hai vectơ chỉ phương của $(SBC)$. Mặt khác $O=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}\notin (SBC)$ (vì nếu $O=\alpha \mathbf{s}+\beta \mathbf{b}+\gamma (\mathbf{b}+\mathbf{d})$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$ thì so sánh hệ số $\mathbf{s}$ cho $\alpha =0$, so sánh $\mathbf{d}$ cho $\gamma =0$, khi đó $\beta =1\ne \frac{1}{2}$). Vậy $(OMN)\parallel (SBC)$. Đúng.
d) Vì $P,Q\in (OMN)$ và $(OMN)\parallel (SBC)$ nên đường thẳng $PQ\subset (OMN)$ song song với $(SBC)$, do đó $PQ$ không cắt $(SBC)$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F$ là trung điểm $SB,SC$ nên $EF\parallel BC\parallel (ABC)$, do đó $EF\parallel (ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ vectơ $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\overrightarrow{AD}=\mathbf{d},\overrightarrow{AS}=\mathbf{s}$: $P=\frac{\mathbf{b}}{2}=O+M-N$ với tổng hệ số $1+1-1=1$, nên $P\in (OMN)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ đều là tổ hợp của $\overrightarrow{BS},\overrightarrow{BC}$ (chỉ phương của $(SBC)$) và $O\notin (SBC)$, nên $(OMN)\parallel (SBC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $PQ\subset (OMN)$ và $(OMN)\parallel (SBC)$ nên $PQ\parallel (SBC)$, không cắt $(SBC)$.