Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$, $P$ là trung điểm cạnh $SA$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì ABCD là hình bình hành nên MN là đường trung bình của hình bình hành (nối trung điểm AB, CD), suy ra MN ∥ AD ∥ BC. Mà BC ⊂ (SBC) và MN ⊄ (SBC), do đó MN ∥ (SBC). Đúng. b) Trong tam giác SAB, M là trung điểm AB, P là trung điểm SA nên MP ∥ SB. Mà SB cắt mặt phẳng (SCD) tại S (vì S ∈ (SCD) nhưng B ∉ (SCD)), nên MP không song song với (SCD) (MP cắt (SCD)). Sai. c) Vì MP ∥ SB với MP ⊂ (MNP) và SB ⊄ (MNP), suy ra SB ∥ (MNP). Vậy SB không cắt mặt phẳng (MNP). Sai. d) Dùng tọa độ: lấy A làm gốc, B = b, D = d, C = b + d, S = s. Khi đó M = b/2, N = b/2 + d, P = s/2. Điểm K trên SD có dạng K = s + t(d − s) = t·d + (1−t)·s. Biểu diễn K theo hệ M, d, (s−b)/2 của mặt phẳng (MNP): K = b/2 + α·d + β·(s−b)/2. So sánh hệ số: hệ số của b cho 1/2 − β/2 = 0 ⇒ β = 1; hệ số của s cho β/2 = 1 − t ⇒ t = 1/2. Vậy K là trung điểm SD, tức SK/KD = 1. Đúng. Kết quả khớp với đáp án mã đề 1111: Đ, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN là đoạn nối trung điểm AB, CD của hình bình hành nên MN ∥ AD ∥ BC; vì BC ⊂ (SBC) và MN ⊄ (SBC) nên MN ∥ (SBC).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác SAB, MP là đường trung bình nên MP ∥ SB; mà SB cắt (SCD) tại S nên MP không song song (SCD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì MP ∥ SB và MP ⊂ (MNP), SB ⊄ (MNP) nên SB ∥ (MNP), tức SB không cắt mặt phẳng (MNP).
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ A gốc, B = b, D = d, S = s: M = b/2, N = b/2 + d, P = s/2. Điểm K = s + t(d−s) thuộc (MNP) khi K = b/2 + αd + β(s−b)/2; so sánh hệ số cho β = 1, t = 1/2. Vậy K là trung điểm SD, SK/KD = 1.