Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành *(tham khảo hình bên)*. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD$, $I$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho $SI=2ID$. Gọi $P$ là giao điểm của $BD$ và $(SMC)$. Gọi $K$ là giao điểm của $BI$ và $(SMC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),S(0,0,3)$. Khi đó $M(0,\frac{1}{2},0)$, $I=\frac{S+2D}{3}=(0,\frac{2}{3},1)$. Mặt phẳng $(SMC)$: $3x-6y-z+3=0$ (kiểm tra thỏa $S,M,C$).
a) $P=BD\cap (SMC)$: điểm $(1-t,t,0)$ thay vào được $t=\frac{2}{3}$, $P=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},0)$. Đường $SC$: $(s,s,3-3s)$; với $x=y=\frac{1}{3}$ thì $z=2\ne 0$, nên $P\notin SC$ → Sai.
b) $K=BI\cap (SMC)$: điểm $(1-u,\frac{2u}{3},u)$ thay vào được $u=\frac{3}{4}$, $K=(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4})$. Đường $SP$: $(\frac{v}{3},\frac{2v}{3},3-3v)$; với $v=\frac{3}{4}$ đúng bằng $K$ → $K=BI\cap SP$, Đúng.
c) $(SAB)$ là mặt phẳng $y=0$. $\overrightarrow{IP}=(\frac{1}{3},0,-1)$ có thành phần $y=0$ và $I$ có $y=\frac{2}{3}\ne 0$ nên $IP\parallel (SAB)$ → Đúng.
d) $(IMB)$: $3x+6y-z=3$ (thỏa $I,M,B$). Giao với $SC$: $12s=3\Rightarrow s=\frac{1}{4}$, $H=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{9}{4})$. Tính $MK=\frac{\sqrt{10}}{4}$, $MH=\frac{\sqrt{83}}{4}$, nên $\frac{MK}{MH}=\sqrt{\frac{10}{83}}$ không phải phân số tối giản $\frac{a}{b}$ với $a+b=5$ (K, M, H không thẳng hàng) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ cho $P=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},0)$; điểm trên $SC$ dạng $(s,s,3-3s)$ với $x=y=\frac{1}{3}$ cho $z=2\ne 0$, nên $P\notin SC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$K=(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ nằm trên cả $BI$ ($u=\frac{3}{4}$) và $SP$ ($v=\frac{3}{4}$), nên $K=BI\cap SP$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ là $y=0$; $\overrightarrow{IP}=(\frac{1}{3},0,-1)$ có $y=0$ và $I\notin (SAB)$, nên $IP\parallel (SAB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$H=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{9}{4})$; $MK=\frac{\sqrt{10}}{4}$, $MH=\frac{\sqrt{83}}{4}$, tỉ số $\sqrt{\frac{10}{83}}$ không phải phân số tối giản với $a+b=5$.