Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ *(tham khảo hình bên)*. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $AM\parallel CD$, $I$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $IC=2IS$. Đường thẳng $SD$ cắt mặt phẳng $(IMA)$ tại $H$.

Tính tỉ số $\frac{DH}{HS}$?

(AI giải đề cho tôi)
Dùng tọa độ affine (tỉ số đoạn thẳng giữ nguyên dưới phép biến đổi affine). Chọn $A=(0;0;0)$, $M=(1;0;0)$ (trung điểm $BC$), lấy $B=(1;-1;0)$, $C=(1;1;0)$, và vì $CD\parallel AM$ lấy $D=(2;1;0)$; đỉnh $S=(0;0;3)$.

Vì $IC=2IS$ nên $\frac{SI}{SC}=\frac{1}{3}$, do đó $I=\frac{2S+C}{3}=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};2\right)$.

Mặt phẳng $(IMA)$ đi qua $A$ chứa $\overrightarrow{AM}=(1;0;0)$ và $\overrightarrow{AI}=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};2\right)$, có VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AI}=(0;-2;\frac{1}{3})$, nên phương trình $-2y+\frac{z}{3}=0\iff z=6y$.

Đường thẳng $SD$: $(x;y;z)=(2t;t;3-3t)$. Thay vào $z=6y$: $3-3t=6t\Rightarrow t=\frac{1}{3}$. Vậy $\frac{SH}{SD}=\frac{1}{3}$, $\frac{DH}{SD}=\frac{2}{3}$, suy ra $\frac{DH}{HS}=\frac{2/3}{1/3}=2$.