Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành (tham khảo hình bên). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD$, $I$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho $SI=2ID$. Gọi $P$ là giao điểm của $BD$ và $(SMC)$. Gọi $K$ là giao điểm của $BI$ và $(SMC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),S(0,0,1)$; khi đó $M(0,\frac{1}{2},0)$, $I(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$ (vì $SI=2ID$).

a) $P=BD\cap (SMC)$. Vì $C,M\in (SMC)$ nên $CM\subset (SMC)$; trong mặt phẳng đáy, $CM$ cắt $BD$ tại $P(\frac{1}{3},\frac{2}{3},0)$. Vậy $P\in BD\cap CM$, không nằm trên $SC$ (với $SC$: $(t,t,1-t)$, không có $t$ cho điểm $P$). → Sai.

b) Hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(SMC)$ cắt nhau theo đường $SP$ (chung $S$ và $P\in BD$). Vì $K\in BI\subset (SBD)$ và $K\in (SMC)$ nên $K\in SP$, tức $K=BI\cap SP$. → Đúng.

c) $\overrightarrow{PI}=(\frac{1}{3},0,-\frac{1}{3})$ có thành phần $y=0$, tức $IP$ song song với mặt phẳng $(SAB)$ (mặt phẳng $y=0$), còn $I$ có $y=\frac{2}{3}\ne 0$ nên $IP\not\subset (SAB)$. → Đúng.

d) Mặt phẳng $(IMB)$ có phương trình $x+2y-z=1$. Đường $SC$: $(t,t,1-t)$; thay vào: $4t=2\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, $H(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Tìm $K=BI\cap SP$: $SP$: $(\frac{u}{3},\frac{2u}{3},1-u)$; $BI$: $(1-v,\frac{2v}{3},\frac{v}{3})$; giải được $u=v=\frac{3}{4}$, $K(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4})$. Suy ra $MK=\frac{\sqrt{2}}{4}$, $MH=\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên $\frac{MK}{MH}=\frac{1}{2}\Rightarrow a+b=3\ne 5$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P nằm trên giao tuyến CM của (SMC) với mặt đáy, P = BD ∩ CM, không nằm trên SC.
b) (AI giải đề cho tôi)
(SBD) ∩ (SMC) = SP; K thuộc cả hai mặt phẳng nên K ∈ SP, tức K = BI ∩ SP.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã chọn, vecto chỉ phương của IP là (1,0,−1) song song với (SAB) (mặt y = 0) và IP không nằm trong (SAB).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ được H(1/2,1/2,1/2), K(1/4,1/2,1/4), MK/MH = 1/2 nên a + b = 3 ≠ 5.