Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $45^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AD$. Vì $△SAD$ đều cạnh $2a$ nên $SH\perp AD$ và $SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Do $(SAD)\perp (ABCD)$, giao tuyến $AD$, mà $SH\subset (SAD)$, $SH\perp AD$ nên $SH\perp (ABCD)$, tức $SH$ là chiều cao của chóp. Vì $BC\parallel AD$ nên $BC$ là giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABCD)$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $BC$ (khi đó $HK=AB$ vì $ABCD$ là hình chữ nhật). Ta có $SH\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp BC$, và $HK\perp BC$, nên $BC\perp (SHK)$, suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SHK}=45^{\circ }$. Do đó $\tan 45^{\circ }=\frac{SH}{HK}=1\Rightarrow HK=AB=a\sqrt{3}$. Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot (AD\cdot AB)\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 2a\cdot a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=2a^3$.