Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $4\sqrt{2}$. Tính khoảng cách của giữa đường thẳng chéo nhau $AB$ và $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều cạnh $a=4\sqrt{2}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Trong tứ diện đều, $MN$ vuông góc với cả $AB$ và $CD$ (do tam giác đều đối xứng), nên $MN$ là đoạn vuông góc chung và $d(AB,CD)=MN$. Tam giác $MCD$ cân tại $C$? Kiểm tra: $MC=MD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường trung bình/đường cao mặt bên), $CD=a$. Trong tam giác $MCD$, đường cao từ $M$ xuống $CD$ (chính là $MN$ vì $N$ trung điểm $CD$): $MN=\sqrt{M{C}^2-C{N}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Thay $a=4\sqrt{2}$: $d=\frac{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=4$. Kiểm tra bằng thể tích: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d\Rightarrow d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, khớp.