Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=4$ và $AD=2$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(4;0;0),D(0;2;0),C(4;2;0)$, $H(2;0;0)$, $K(2;2;0)$. Tam giác đều $SAB$ cạnh 4 nên $SH=2\sqrt{3}$, $S(2;0;2\sqrt{3})$.
a) Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ tại giao tuyến $AB$ và $SH\subset (SAB)$, $SH\perp AB$ (đường cao tam giác đều) nên $SH\perp (ABCD)$. Đúng.
b) $AB\parallel CD$, $CD\subset (SCD)$ nên $d(AB,(SCD))=d(H,(SCD))$. Mặt phẳng $(SCD)$ qua $D(0;2;0)$ với vectơ chỉ phương $DC=(4;0;0)$, $DS=(2;-2;2\sqrt{3})$ có VTPT $(0;\sqrt{3};1)$, phương trình $\sqrt{3}(y-2)+z=0$. Khoảng cách từ $H(2;0;0)$: $\frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$. Đúng.
c) Góc giữa $SD$ và mặt đáy là góc $SDH$ (H là hình chiếu của S). $HD=2\sqrt{2}$, $SD=\sqrt{4+4+12}=2\sqrt{5}$, nên $\cos \angle SDH=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\ne \frac{\sqrt{15}}{5}$. Sai.
d) Mặt $(SHC)$: qua $H$, chứa $HS=(0;0;2\sqrt{3})$, $HC=(2;2;0)$, VTPT $n_1=(-4\sqrt{3};4\sqrt{3};0)\sim (1;-1;0)$, phương trình $x-y=2$. Mặt $(SKB)$: $KS=(0;-2;2\sqrt{3})$, $KB=(2;-2;0)$, VTPT $n_2=(4\sqrt{3};4\sqrt{3};4)\sim (\sqrt{3};\sqrt{3};1)$. $n_1\cdot n_2=\sqrt{3}-\sqrt{3}+0=0$ nên hai mặt phẳng vuông góc. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
SH⊥AB và (SAB)⊥(ABCD) tại AB nên SH⊥(ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
d(AB,(SCD))=d(H,(SCD))=√3 do (SCD): √3(y−2)+z=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos∠SDH = HD/SD = 2√2/(2√5) = √10/5 ≠ √15/5.
d) (AI giải đề cho tôi)
VTPT (1;−1;0) và (√3;√3;1) có tích vô hướng bằng 0 nên hai mặt phẳng vuông góc.