Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $C$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc tia $AG$ sao cho $AE=3AG$. Biết $A^{\prime }A=A^{\prime }B=15$, $AB=18$ và $AC=3\sqrt{10}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }G$ và $B^{\prime }E$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(18;0;0)$. Tam giác cân tại $C$ với $CA=CB=3\sqrt{10}$, trung điểm $M$ của $AB$ có $CM=\sqrt{90-81}=3$, lấy $C=(9;3;0)$, trọng tâm $G=(9;1;0)$.

Vì $A^{\prime }A=A^{\prime }B=15$ nên $A^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng trung trực của $AB$, tức $x_{A^{\prime }}=9$. Đặt $\vec{v}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(9;y;z)$ với $y^2+z^2=144$ (do $|\vec{v}|=15$). Khi đó $A^{\prime }=(9;y;z)$, $B^{\prime }=(27;y;z)$. Điểm $E$ trên tia $AG$ với $AE=3AG$: $E=3G=(27;3;0)$.

Chỉ phương của $A^{\prime }G$: $(0;1-y;-z)$; của $B^{\prime }E$: $(0;3-y;-z)$. Hai đường nằm trong hai mặt phẳng song song $x=9$ và $x=27$. Tích có hướng: $(1-y)(-z)-(-z)(3-y)=2z\ne 0$ (vì $z\ne 0$, nếu không lăng trụ suy biến), nên hai đường thẳng không song song và vecto pháp tuyến chung là $(1;0;0)$.

Khoảng cách $d(A^{\prime }G,B^{\prime }E)=|27-9|=18$. Kết quả không phụ thuộc $y,z$, nên bài toán xác định tốt.