Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a$, $AD=2a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a$. Biết khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBN)$ với $N$ là trung điểm của $CD$ là $\frac{2a\sqrt{m}}{33}$ $(m\in \mathbb{N})$. Tính giá trị biểu thức $P=m^2-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,2a,0), D(0,2a,0), S(0,0,a), N trung điểm CD nên N(a/2,2a,0). Vectơ SB=(a,0,-a), SN=(a/2,2a,-a). VTCP của (SBN): SB×SN=(2a², a²/2, 2a²) ∝ (4,1,4). Mặt phẳng (SBN): 4x+y+4z=4a (qua B). Khoảng cách từ D(0,2a,0): d=|4·0+2a+0-4a|/√(16+1+16)=2a/√33=2a√33/33. Vậy m=33, P=m²-1=1089-1=1088, khớp đáp án nguồn.