Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $(AD//BC;AD=2BC)$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$; $M$ trên cạnh $SD$ sao cho $SM=2MD$. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

a) Hai đường thẳng $BE$ và $CD$ song song với nhau.

b) $BC$ song song với $(SAD)$.

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $M$ và song song với $AD$.

d) Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(SBC)$ cắt $SA,AB$ và $CD$ lần lượt tại $N;P;Q$. Khi đó $MNPQ$ là hình thang có $MN=\frac{3}{4}PQ$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: E là trung điểm AD nên ED = AD/2 = BC, mà ED ∥ BC (cùng song song AD) ⇒ EBCD là hình bình hành ⇒ BE ∥ CD.
b) Đúng: BC ∥ AD, AD ⊂ (SAD), BC ⊄ (SAD) ⇒ BC ∥ (SAD).
c) Đúng: Vì BC ∥ (SAD) và BC ⊂ (MBC), mặt phẳng (MBC) cắt (SAD) theo giao tuyến d đi qua M và d ∥ BC; mà BC ∥ AD nên d ∥ AD.
d) Sai: Chọn tọa độ A(0;0;0), D(2;0;0), B(1;1;0), C(2;1;0), S(0;0;3). Khi đó M trên SD với SM = 2MD: M(4/3;0;1). Mặt phẳng (SBC) có phương trình 3y + z = 9, nên (P) qua M song song (SBC) là 3y + z = 1. T giao: N trên SA: N(0;0;1); P trên AB: P(1/3;1/3;0); Q trên CD: Q(2;1/3;0). Suy ra MN = 4/3, PQ = 5/3, MN ∥ PQ nên MNPQ là hình thang nhưng MN = (4/5)PQ ≠ (3/4)PQ ⇒ khẳng định d) sai. Kết quả khớp đáp án nguồn ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
E trung điểm AD nên ED = BC và ED ∥ BC ⇒ EBCD là hình bình hành ⇒ BE ∥ CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ AD ⊂ (SAD) và BC ⊄ (SAD) ⇒ BC ∥ (SAD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì BC ∥ (SAD), giao tuyến của (MBC) và (SAD) đi qua M và song song với BC, do đó song song với AD.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ A(0;0;0), D(2;0;0), B(1;1;0), C(2;1;0), S(0;0;3) thì M(4/3;0;1), (P): 3y+z=1, cho N(0;0;1), P(1/3;1/3;0), Q(2;1/3;0). MN = 4/3, PQ = 5/3 ⇒ MN = (4/5)PQ ≠ (3/4)PQ.