Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Biết rằng $SO\perp (ABCD),SO=\frac{3a}{4}$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$?

Gọi $I$ là hình chiếu của $O$ trên $CD$, $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SI$.
Thấy rằng $CD\perp (SOI)$ nên $CD\perp OH$. Mà $OH\perp SI$ nên $OH\perp (SCD)$.
Suy ra $d\left(O,(SCD)\right)=OH$.
Vì $AB=BC,\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều.
Suy ra $OB=OD=\frac{a\sqrt{3}}{2},OA=OC=\frac{a}{2}.$
Xét tam giác vuông $DOC$ có $OI=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$
Xét tam giác vuông $SOI$ có
$$SI=\sqrt{{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{vaˋ}OH=\frac{\frac{3a}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{3a}{8}.$$
Vậy $d\left(O,(SCD)\right)=\frac{3a}{8}$.