Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Chứng minh đường thẳng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ với $H$ là trung điểm $AB$.

b) Chứng minh mặt phẳng $(SCH)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

c) Tính số đo góc nhị diện $[D,SC,B]$.

a) Theo đề bài, SAB là tam giác đều. Do đó $SH\perp AB$
Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng AB.
Suy ra $SH\perp (ABCD)$


b) Ta có ABC là tam giác đều, suy ra $CH\perp AB$
Mà $SH\perp AB$
Do đó $AB\perp (SCH)$. Suy ra $(SCH)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

c) BE vuông góc SC với E là trung điểm SC
Kẻ EK vuông SC
Do đó $[D,SC,B]=\widehat{BEK}$.
Tính được $EK=\frac{a}{2}$; $EB=\frac{a\sqrt{10}}{4}$; $BK=\frac{a\sqrt{22}}{4}$.
$\cos \widehat{BEK}=\frac{E{B}^2+E{K}^2-B{K}^2}{2EB.EK}=\frac{-\sqrt{10}}{5}$.
Góc cần tìm 129,23 độ.

Học sinh giải đúng bằng nhiều cách khác cũng cho điểm