Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ bên).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$.

a) Vì $AB\parallel CD$ nên góc giữa $SD$ và $AB$ bằng góc giữa $SD$ và $CD$, tức $\widehat{SDC}$. Đúng.

b) $SA\perp (ABCD)$ nên $AD$ là hình chiếu của $SD$ trên $(ABCD)$, góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$ với $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SDA}=60^{\circ }$. Đúng.

c) Mặt phẳng $(SAD)$ là mặt phẳng $x=0$. Hình chiếu của $C(a;a;0)$ trên $(SAD)$ là $D(0;a;0)$, nên hình chiếu của tam giác $SCD$ là đoạn $SD$ (tam giác suy biến), không phải tam giác $SAD$. Sai.

d) Gọi $O$ là tâm hình vuông (trung điểm $BD$). Vì $AC\perp BD$ và $SA\perp (ABCD)$ nên $BD\perp (SAC)$, do đó góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$. Ta có $OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SO=\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{3a^2+\frac{a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{7}{2}}$, $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{3a^2+2a^2}=a\sqrt{5}$.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $SOC$: $\cos \widehat{SOC}=\frac{S{O}^2+O{C}^2-S{C}^2}{2\cdot SO\cdot OC}=\frac{\frac{7a^2}{2}+\frac{a^2}{2}-5a^2}{2\cdot a\sqrt{\frac{7}{2}}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{-a^2}{a^2\sqrt{7}}=-\frac{1}{\sqrt{7}}$.
Suy ra $\sin \widehat{SOC}=\sqrt{\frac{6}{7}}$ và $\tan \alpha =\tan \widehat{SOC}=-\sqrt{6}$. Đúng.

Kết quả khớp bảng HD chấm: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Lưu ý: góc $\widehat{SOC}$ là góc tù (cos âm) vì $S$ và $C$ nằm về hai phía của mặt phẳng qua $BD$ vuông góc với $(SAC)$, nên $\tan \alpha =-\sqrt{6}$ (dấu âm đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên góc giữa $SD$ và $AB$ bằng góc giữa $SD$ và $CD$, tức $\widehat{SDC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $SD$ trên $(ABCD)$ là $AD$; $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow 60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $C$ trên $(SAD)$ là $D$ (vì $CD\perp (SAD)$), nên hình chiếu của tam giác $SCD$ là đoạn thẳng $SD$, không phải tam giác $SAD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$ với $O$ tâm hình vuông. Định lí cosin cho $\cos \widehat{SOC}=-\frac{1}{\sqrt{7}}$, suy ra $\tan \alpha =-\sqrt{6}$.