Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{6}$. Tính góc nhị diện $[S,BD,A]$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$ tại $O$, do đó $AO\perp BD$. Vì $SA\perp$ đáy nên $SA\perp BD$. Suy ra $BD\perp (SAO)$, tức $SO\perp BD$. Vậy góc nhị diện $[S,BD,A]$ là góc $\angle SOA$. Ta có $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{6}$, nên $\tan \angle SOA=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{6}/6}{a\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Suy ra $\angle SOA=30^{\circ }$. Đáp án C.