Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $SC$ bằng

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 38 chọn đáp án B.



Gọi $H$ là trung điểm $AB$, vì $\Delta SAB$ đều và $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SH\perp (ABCD)$.
Gọi $N$ là trung điểm $CD$. Khi đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta SCD$ nên $MN\parallel SC$.
Mà $CH\parallel AN$ nên mặt phẳng $(SHC)\parallel (AMN)$.
Do đó:
$d(SC;AM)=d(AM;(SHC))=d(A;(SHC))=d(B;(SHC)).$
Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, kẻ $BI\perp HC$ tại $I$.
Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp BI$, suy ra $BI\perp (SHC)$, do đó $d(B;(SHC))=BI$.
Xét tam giác vuông $BHC$ tại $B$:
$BC=a,BH=\frac{a}{2}$.
$\frac{1}{B{I}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{5}{a^2}\Rightarrow BI=\frac{a\sqrt{5}}{5}.$
Vậy $d(SC;AM)=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Chọn đáp án B.