Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $SA=2$, $AB=1$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $SC$ và $AD$. Biết $\tan \alpha =\sqrt{b}$, tìm $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên góc giữa $SC$ và $AD$ bằng góc giữa $SC$ và $BC$, tức là góc $SCB$ trong tam giác $SCB$. Do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, suy ra $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$. Lại có $SA\perp BC$ (vì $BC\subset (ABCD)$) và $AB\perp BC$ nên $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$, tam giác $SCB$ vuông tại $B$. Vậy $\tan \alpha =\tan \widehat{SCB}=\frac{SB}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{1}=\sqrt{5}$. Suy ra $b=5$, khớp với đáp án nguồn (đề 1112, Phần III, Câu 1 = 5).