Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$. a) Chứng minh rằng $(OMN)\parallel (SBC)$. b) Gọi $I$ là trung điểm của $SD$, $J$ là một điểm trên $(ABCD)$ và cách đều $AB,CD$. Chứng minh rằng $IJ\parallel (SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 20.** Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$; $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $CD$.

**a) Chứng minh $(OMN)\parallel (SBC)$.**

Gọi $I$ là trung điểm của $SD$.

- Trong tam giác $SAC$: $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành), $M$ là trung điểm $SA$, nên $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM\parallel SC$. Vì $SC\subset (SBC)$ và $OM\not\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$.

- Trong tam giác $SAD$: $M$, $I$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SD$ nên $MI\parallel AD$.
- Trong tam giác $BCD$: $O$ là trung điểm $BD$ (tâm hình bình hành), $N$ là trung điểm $CD$ nên $ON\parallel BC$. Mà $BC\parallel AD$ nên $ON\parallel AD$, do đó $MI\parallel ON$.

Hai đường thẳng $MI$ và $ON$ song song nhau nên bốn điểm $M$, $I$, $O$, $N$ đồng phẳng, tức $I\in (OMN)$.

Trong mặt phẳng $(OMN)$: $MI\parallel AD\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$, $MI\not\subset (SBC)$, nên $MI\parallel (SBC)$.

Mặt phẳng $(OMN)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $OM$ và $MI$ cùng song song với $(SBC)$, do đó $(OMN)\parallel (SBC)$. $■$

**b) Chứng minh $IJ\parallel (SAB)$ với $I$ là trung điểm $SD$, $J\in (ABCD)$ cách đều $AB$, $CD$.**

Xét mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $I$ và song song với $(SAB)$:

- Trong tam giác $SBD$: qua $I$ (trung điểm $SD$) kẻ đường thẳng song song với $SB$, đường thẳng này cắt $BD$ tại trung điểm của $BD$, tức tại $O$ (tâm hình bình hành). Vậy $O\in (\alpha )$.
- Vì $(\alpha )\parallel (SAB)$ nên $(\alpha )\parallel AB$; mà $AB\subset (ABCD)$, giao tuyến của $(\alpha )$ với $(ABCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $O$ và $d\parallel AB$.

Vì $AB\parallel CD$, tập hợp các điểm trong $(ABCD)$ cách đều $AB$ và $CD$ là đường trung bình của hình bình hành, song song với $AB$ và đi qua tâm $O$. Do $J$ cách đều $AB$, $CD$ nên $J$ nằm trên đường thẳng này, tức $J\in d\subset (\alpha )$.

Suy ra $IJ\subset (\alpha )$, mà $(\alpha )\parallel (SAB)$, nên $IJ\parallel (SAB)$. $■$