Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$. a) Chứng minh rằng $(OMN)\parallel (SBC)$. b) Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,ON$. Chứng minh $PQ\parallel (SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán được giải đầy đủ như sau. a) Trong tam giác SAD, M, N lần lượt là trung điểm SA, SD nên MN là đường trung bình: MN ∥ AD. Vì ABCD là hình bình hành nên AD ∥ BC, suy ra MN ∥ BC. Trong tam giác SAC, O là trung điểm AC (tâm hình bình hành) và M là trung điểm SA nên OM là đường trung bình: OM ∥ SC. Vì MN và OM là hai đường thẳng cắt nhau tại M, cùng song song với hai đường thẳng cắt nhau BC và SC của mặt phẳng (SBC), nên (OMN) ∥ (SBC). b) O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm BD. Trong tam giác ABD: P trung điểm AB, O trung điểm BD nên PO là đường trung bình, do đó PO ∥ AD và PO = ½AD; mà AD ∥ BC nên PO ∥ BC. Xét O, N, Q: O là trung điểm BD, N là trung điểm SD, trong tam giác SBD, đoạn ON là đường trung bình nên ON ∥ SB. Vì Q là trung điểm ON nên OQ = ½ON = ¼SB, suy ra OQ ∥ SB. Hai đường thẳng PO và OQ cắt nhau tại O và lần lượt song song với BC, SB của mặt phẳng (SBC), nên mặt phẳng (POQ) ∥ (SBC). Mà P thuộc (POQ) và P không thuộc (SBC), do đó đường thẳng PQ ∥ (SBC). Kiểm tra bằng tọa độ: A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(1,1,0), S(0,0,1) thì P(0.5,0,0), Q(0.25,0.5,0.25), vectơ PQ = (−0.25,0.5,0.25) có tích vô hướng với pháp tuyến (1,0,1) của (SBC) bằng 0 và P không thuộc (SBC) — khẳng định đúng.