Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $CD$. a) Chứng minh $MN$ song song với các mặt phẳng $(SBC)$, $(SAD)$. b) Gọi $G_1$, $G_2$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$, $SBC$. Chứng minh rằng: $G_1{G}_2\parallel (SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18 (tự luận).

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$ và $AB=CD$. $M$ là trung điểm $AB$ nên $MB=\frac{AB}{2}$; $N$ là trung điểm $CD$ nên $CN=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=MB$. Tứ giác $MBCN$ có $MB\parallel CN$ (vì $AB\parallel CD$) và $MB=CN$ nên $MBCN$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel BC$. Xét $(SBC)$: $BC\subset (SBC)$, $MN\not\subset (SBC)$ (vì $M\notin (SBC)$) và $MN\parallel BC$, do đó $MN\parallel (SBC)$. Tương tự, vì $AD\parallel BC$ (hình bình hành $ABCD$) nên $MN\parallel AD$; mà $AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$, suy ra $MN\parallel (SAD)$.

b) Dùng vectơ. Chọn điểm $O$ bất kỳ làm gốc. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $$\overrightarrow{O{G}_1}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}.$$ Vì $G_2$ là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $$\overrightarrow{O{G}_2}=\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}.$$ Suy ra $$\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{O{G}_2}-\overrightarrow{O{G}_1}=\frac{\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OA}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}.$$ Vậy $\overrightarrow{G_1{G}_2}$ cùng phương với $\overrightarrow{AS}$, tức là $G_1{G}_2\parallel SA$. Mà $SA\subset (SAC)$ và $G_1{G}_2\not\subset (SAC)$ (vì $G_1$ nằm trong mặt đáy $(ABC)$ và không thuộc đường thẳng $AC$). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $G_1{G}_2\parallel (SAC)$. Điều phải chứng minh.