Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Trên các cạnh $SB$, $SD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $(AMN)$ cắt $SC$ tại $J$. Tính tỉ số $k=\frac{SJ}{SC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $S$: $\overrightarrow{SA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$ và $\overrightarrow{SO}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{SM}=\frac{2}{3}\vec{b}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})$.

Hai vectơ chỉ phương của $(AMN)$:
$$\vec{u}=\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{a},\vec{v}=\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{c}-\frac{2}{3}\vec{b}.$$

Gọi $\overrightarrow{SJ}=t\vec{c}$ với $t=\frac{SJ}{SC}$. Vì $(\alpha )$ qua $O$ song song $(AMN)$ nên $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{SJ}-\overrightarrow{SO}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\left(t-\frac{1}{2}\right)\vec{c}$ phải là tổ hợp tuyến tính của $\vec{u},\vec{v}$: $\overrightarrow{OJ}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}$.

So sánh hệ số theo $\vec{b}$: $\frac{2}{3}\lambda -\frac{2}{3}\mu =0\Rightarrow \lambda =\mu$.

So sánh theo $\vec{a}$: $-\lambda -\frac{\lambda }{3}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{4}{3}\lambda =\frac{1}{2}\Rightarrow \lambda =\frac{3}{8}$.

So sánh theo $\vec{c}$: $t-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{8}=\frac{1}{4}\Rightarrow t=\frac{3}{4}$.

Vậy $k=\frac{SJ}{SC}=\frac{3}{4}$, khớp với đáp án đã cho.