Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB\parallel CD,AB=2CD,\widehat{ABC}=45^{\circ }$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của cạnh $AB$ và $SC\perp BC,SC=a$. Gọi góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $\alpha$. Khi thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất, tính $\sin \alpha$.

Chọn B.
Ta có $SH\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp BC$.
Mặt khác $SC\perp BC$, suy ra $BC\perp (SHC)\Rightarrow BC\perp HC$.
Khi đó $(SBC)\cap (ABCD)=BC$ và $SC\perp BC,HC\perp BC$, do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $\alpha =\widehat{SCH}$.
Trong tam giác vuông $SHC$ vuông tại $H$ (vì $SH\perp HC$):
$SH=SC\cdot \sin \alpha =a\sin \alpha$, và $HC=SC\cdot \cos \alpha =a\cos \alpha$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, tam giác $HBC$ có $\widehat{HBC}=45^{\circ }$ và $HC\perp BC$, nên tam giác $HBC$ vuông cân tại $C$.
Do đó $BC=HC=a\cos \alpha$ và $HB=HC\sqrt{2}=a\sqrt{2}\cos \alpha$.
Vì $H$ là trung điểm $AB$ nên $AB=2HB=2a\sqrt{2}\cos \alpha$.
Và $CD=\frac{AB}{2}=a\sqrt{2}\cos \alpha$.
Khoảng cách giữa hai đáy $AB$ và $CD$ bằng đường cao hạ từ $C$ xuống $AB$.
Trong tam giác vuông cân $HBC$ vuông cân tại $C$, kẻ $CK\perp HB$ thì $CK=\frac{HB}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cos \alpha }{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cos \alpha$.
Diện tích hình thang $ABCD$ là:
$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CK=\frac{2a\sqrt{2}\cos \alpha +a\sqrt{2}\cos \alpha }{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}\cos \alpha }{2}=\frac{3a\sqrt{2}\cos \alpha }{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}\cos \alpha }{2}=\frac{3}{2}{a}^2{\cos }^2\alpha$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}{a}^2{\cos }^2\alpha \cdot a\sin \alpha =\frac{a^3}{2}{\cos }^2\alpha \sin \alpha =\frac{a^3}{2}(1-{\sin }^2\alpha )\sin \alpha$.
Đặt $u=\sin \alpha$ với $0<u<1$. Ta cần tìm $u$ để hàm số $g(u)=u(1-u^2)=u-u^3$ đạt giá trị lớn nhất trên $(0;1)$.
Đạo hàm $g^{\prime }(u)=1-3u^2=0\iff u=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\in (0;1)$.
Vậy khi thể tích lớn nhất thì $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$.