Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AD\parallel BC$; $AD=2BC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,CD$.
1. Chứng minh $BC\parallel (SAD)$.
2. Chứng minh $MN\parallel (SAC)$.
3. Gọi $K$ là điểm thuộc cạnh $SB$ sao cho $KB=2KS$. Tìm giao điểm $I$ của $SA$ và $(MNK)$.
4. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $CDM$. Chứng minh $KG\parallel SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải Bài 20:

1) Vì đáy $ABCD$ là hình thang có $AD\parallel BC$ nên $BC\parallel AD$. Mà $AD\subset (SAD)$ và $BC\not\subset (SAD)$, suy ra $BC\parallel (SAD)$.

2) Trong tam giác $ADC$: $M$ là trung điểm $AD$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN\parallel AC$. Mà $AC\subset (SAC)$, $MN\not\subset (SAC)$, suy ra $MN\parallel (SAC)$.

3) Vì $MN\parallel AC$ nên $MN$ không cắt $AC$; trong mặt phẳng đáy, gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ với đường thẳng $AB$ (hai đường thẳng này không song song vì $MN\parallel AC$). Khi đó $P\in MN\subset (MNK)$ và $P\in AB\subset (SAB)$, nên $(MNK)\cap (SAB)=KP$. Gọi $I=KP\cap SA$, thì $I$ chính là giao điểm của $SA$ và $(MNK)$.

Tính tỉ số: đặt hệ vector với gốc $S$, $\overrightarrow{SA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+2\vec{c}-2\vec{b}$. Suy ra $\overrightarrow{SM}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$, $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{c}-\vec{b}$. Điểm $P=MN\cap AB$: giải $\overrightarrow{SM}+t(\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM})=(1-s)\vec{a}+s\vec{b}$ cho $s=-1$, tức $\overrightarrow{SP}=2\vec{a}-\vec{b}$, nghĩa là $A$ là trung điểm của $PB$ (với $P$ nằm ngoài đoạn $AB$, phía $A$), suy ra $\frac{BP}{PA}=2$. Vì $KB=2KS$ nên $\frac{KS}{KB}=\frac{1}{2}$.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $SAB$ với cát tuyến $KIP$:
$$\frac{KS}{KB}\cdot \frac{BP}{PA}\cdot \frac{AI}{IS}=1\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{AI}{IS}=1\Rightarrow \frac{AI}{IS}=1.$$
Vậy $I$ là trung điểm của $SA$ (khi đó $SI=IA$), tức $I$ là điểm trên $SA$ sao cho $I$ là trung điểm $SA$; đường thẳng qua $K$ song song $MN$ cắt $SA$ tại trung điểm $SA$.

4) Chứng minh bằng vector: với gốc $S$, ta có
$$\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+2\overrightarrow{BC}=\vec{a}+2(\vec{c}-\vec{b})=\vec{a}+2\vec{c}-2\vec{b}.$$
Do đó $\overrightarrow{SM}=\frac{\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SD}}{2}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$, và
$$\overrightarrow{SG}=\frac{\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{SM}}{3}=\frac{\vec{c}+(\vec{a}+2\vec{c}-2\vec{b})+(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})}{3}=\frac{2\vec{a}+4\vec{c}-3\vec{b}}{3}.$$
Vì $KB=2KS$ nên $\overrightarrow{SK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}=\frac{1}{3}\vec{b}$. Suy ra
$$\overrightarrow{KG}=\overrightarrow{SG}-\overrightarrow{SK}=\frac{2\vec{a}+4\vec{c}-3\vec{b}}{3}-\frac{\vec{b}}{3}=\frac{2\vec{a}+4\vec{c}-4\vec{b}}{3}=\frac{2}{3}(\vec{a}+2\vec{c}-2\vec{b})=\frac{2}{3}\overrightarrow{SD}.$$
Vậy $\overrightarrow{KG}$ cùng phương với $\overrightarrow{SD}$, tức là $KG\parallel SD$. $■$

Tóm tắt kết quả: (1) $BC\parallel (SAD)$ vì $BC\parallel AD$; (2) $MN\parallel (SAC)$ vì $MN$ là đường trung bình tam giác $ADC$; (3) $I$ là trung điểm của $SA$ (dùng Menelaus với $P=MN\cap AB$, $A$ là trung điểm $PB$); (4) $\overrightarrow{KG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{SD}$ nên $KG\parallel SD$.