Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thap, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC.

a) Tìm giao điểm của IK và (SBD).

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD (AB là cạnh đáy lớn). Ta dùng phương pháp tìm giao tuyến bằng cách tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.

a) Tìm giao điểm của IK và (SBD):
- Trong mặt phẳng đáy, gọi E = JK ∩ BD. Vì J ∈ AB ⊂ (SBD)? — chính xác hơn: E ∈ BD ⊂ (SBD) và E ∈ JK ⊂ (IJK), nên E là điểm chung của (IJK) và (SBD).
- Trong mặt phẳng (SAB): IJ và SB đồng phẳng nên cắt nhau tại P = IJ ∩ SB. Khi đó P ∈ (IJK) và P ∈ SB ⊂ (SBD), nên P là điểm chung thứ hai.
- Vậy (IJK) ∩ (SBD) = PE.
- Vì IK ⊂ (IJK), giao điểm T của IK với (SBD) chính là giao điểm của IK với PE (cùng nằm trong mặt phẳng (IJK)). Kết luận: T = IK ∩ PE.

b) Tìm giao điểm của (IJK) với SD và SC:
- Giao điểm với SD: SD ⊂ (SBD), mà (SBD) ∩ (IJK) = PE, nên giao điểm N = SD ∩ PE.
- Giao điểm với SC: Xét (SBC): K ∈ BC ⊂ (SBC) và K ∈ (IJK); P ∈ SB ⊂ (SBC) và P ∈ (IJK). Vậy (SBC) ∩ (IJK) = PK. Giao điểm M của SC với (IJK) là M = SC ∩ PK.

Nhận xét: các điểm P, E có thể nằm ngoài các đoạn thẳng tương ứng (kéo dài các đoạn thẳng khi cần). Nếu trong vị trí cụ thể IJ ∥ SB thì thay bằng cách khác, nhưng với vị trí tổng quát cách trên luôn cho kết quả.