Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh 1, $\widehat{BAD}=60°$; cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=1$. Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng bao nhiêu?

Chuyển khoảng cách về đỉnh $A$: Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB\parallel CD$; mà $CD\subset (SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$. Do đó $$d(B,(SCD))=d(A,(SCD)).$$ Tính thể tích khối chóp $S.ACD$: Trong hình thoi, $\widehat{ADC}=180^{\circ }-\widehat{BAD}=120^{\circ }$ và $AD=DC=1$, nên $$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DC\cdot \sin \widehat{ADC}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4},A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2-2AD\cdot DC\cos 120^{\circ }=3.$$ Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $$V_{S.ACD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ACD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{12}.$$ Tính diện tích tam giác $SCD$: Do $SA\perp (ABCD)$ nên các tam giác $SAD$ và $SAC$ vuông tại $A$, suy ra $$SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{2},SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=2,CD=1.$$ Trong tam giác $SCD$, theo định lí côsin: $$\cos \widehat{SDC}=\frac{S{D}^2+D{C}^2-S{C}^2}{2\cdot SD\cdot DC}=\frac{2+1-4}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}⟹\sin \widehat{SDC}=\sqrt{1-\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{14}}{4}.$$ Do đó $$S_{SCD}=\frac{1}{2}\cdot SD\cdot DC\cdot \sin \widehat{SDC}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{14}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$$ Kết luận: $$d(B,(SCD))=d(A,(SCD))=\frac{3V_{S.ACD}}{S_{SCD}}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$$ Đáp số: $d(B,(SCD))=\frac{\sqrt{21}}{7}\approx 0,65$.