Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, có cạnh bằng $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$. Khi đó $M(a/2;0;0)$, $N(a;a/2;0)$, $O(a/2;a/2;0)$.

a) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$; $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SA}=0$. Nhưng $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{2})$ và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SB}=a^2\ne 0$, nên $AC$ không vuông góc $SB$, do đó $AC$ không vuông góc $(SBD)$ → Sai.

b) $\overrightarrow{MN}=(a/2;a/2;0)\parallel (1;1;0)$, $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{2})$. $\cos (MN,SC)=\frac{2a}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{4a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → góc bằng $45^{\circ }$ → Đúng.

c) $\overrightarrow{SO}=(a/2;a/2;-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{SO}=a^2/4+a^2/4=a^2/2\ne 0$ nên $MN$ không vuông góc $SO$ → Sai.

d) $\overrightarrow{SM}=(a/2;0;-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{SN}=(a;a/2;-a\sqrt{2})$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SM}\times \overrightarrow{SN}\propto (2\sqrt{2};-2\sqrt{2};1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{8+8+1}=\sqrt{17}$. $\overrightarrow{SA}=(0;0;-a\sqrt{2})$. $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{SA}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{SA}|}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{17}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}$, suy ra $\cos \theta =\frac{4}{\sqrt{17}}$, $\tan \theta =\frac{1}{4}$, $\cot \theta =4\ne \frac{1}{4}$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai — khớp đáp án nguồn (mã đề 111, Câu 2: SĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
AC⊥BD và AC⊥SA nhưng AC·SB=a²≠0 nên AC không vuông góc (SBD).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
cos(MN,SC)=1/√2 nên góc bằng 45°.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
MN·SO=a²/2≠0 nên MN không vuông góc SO.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
n=SM×SN ∝ (2√2;−2√2;1), |n|=√17. sinθ=1/√17, cosθ=4/√17, tanθ=1/4, cotθ=4≠1/4 → Sai.