Cho tứ diện đều $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. Mệnh đề nào sau đây sai?

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$, gọi $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $CD$ (chính là $M,N$). Vì tam giác đều nên $CI\perp AB$ và $DI\perp AB$, do đó $AB\perp (CDI)$, suy ra $AB\perp IJ$, tức $MN\perp AB$ (C đúng). Tương tự, $AJ\perp CD$ và $BJ\perp CD$ nên $CD\perp (ABJ)$, suy ra $CD\perp IJ$, tức $MN\perp CD$ (D đúng), và cũng từ đó $AB\perp CD$ (B đúng). Kiểm tra bằng tọa độ với cạnh $a$: đặt $A=\left(0,0,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)$, $B=\left(-\frac{a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$, $C=\left(\frac{a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$, $D=\left(0,\frac{a\sqrt{3}}{3},0\right)$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{6}a}{6}\right)$ và $\overrightarrow{BD}=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, nên $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}\ne 0$. Vậy $MN$ không vuông góc với $BD$ — mệnh đề A sai, khớp đáp án A trong bảng đáp án mã đề 111.