Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với đáy. Biết $SA=a$, $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a$, $BC=2a$ và $M$ là trung điểm của $CD$.

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;2a;0)$, $D(0;2a;0)$, $S(0;0;a)$, $M$ trung điểm $CD$ nên $M\left(\frac{a}{2};2a;0\right)$.

a) $\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{SM}$; vì $M$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SM}\ne \overrightarrow{SM}$. Mệnh đề Sai.

b) $\overrightarrow{SA}=(0;0;-a)$, $\overrightarrow{SM}=\left(\frac{a}{2};2a;-a\right)$, $|\overrightarrow{SM}|=a\sqrt{\frac{1}{4}+4+1}=\frac{a\sqrt{21}}{2}$. Tích vô hướng $=a^2$, nên $\cos (\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SM})=\frac{a^2}{a\cdot \frac{a\sqrt{21}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$. Mệnh đề Đúng.

c) $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{SM}$ nên độ dài bằng $\frac{a\sqrt{21}}{2}\ne a\sqrt{21}$. Mệnh đề Sai.

d) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{a}{2}\cdot a=\frac{a^2}{2}$. Mệnh đề Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $CD$: $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SM}$, còn $\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{SM}$, hai vế không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $S(0;0;a)$, $A(0;0;0)$, $M\left(\frac{a}{2};2a;0\right)$: $\cos =\frac{a^2}{a\cdot \frac{a\sqrt{21}}{2}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SM}$ có độ dài $\frac{a\sqrt{21}}{2}\ne a\sqrt{21}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{a}{2}\cdot a=\frac{1}{2}{a}^2$.