Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $SA=a\sqrt{2}$, $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ với $AB=2a,AD=DC=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa: $A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;a;0),C(a;a;0),S(0;0;a\sqrt{2})$ (hình thang vuông tại $A,D$, $AB\parallel DC$, $AD\perp AB$).
a) $\overrightarrow{BC}=(-a;a;0)$, $\overrightarrow{SD}=(0;a;-a\sqrt{2})$, tích vô hướng $=a^2-2a^2=-a^2\ne 0$ nên $BC$ không vuông góc $SD$ → Sai.
b) $DC\perp AD$ (giả thiết) và $DC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $DC\perp (SAD)$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AC}=(-a;a;0)\cdot (a;a;0)=0$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAC)$; vì $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAC)$ → Đúng.
d) Vì $BC\perp (SAC)$ nên $AC\perp BC$ và $SC\perp BC$, do đó góc nhị diện $[S,BC,A]$ là góc $SCA$ trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$): $\tan \angle SCA=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \angle SCA=45^0\ne 60^0$ → Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{SD}=-a^2\ne 0$, do đó $BC$ không vuông góc với $SD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$DC\perp AD$ và $DC\perp SA$ nên $DC\perp (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AC$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAC)$, suy ra $(SBC)\perp (SAC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[S,BC,A]$ bằng góc $SCA$ với $\tan \angle SCA=\frac{SA}{AC}=1\Rightarrow 45^0\ne 60^0$.