Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình vuông tâm $O$ có độ dài mỗi cạnh bằng 2, $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=\sqrt{6}$. a) Chứng minh $BD\perp (SAC)$. b) Tính số đo góc nhị diện $[S,BD,A]$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy ABCD là hình vuông nên $AC\perp BD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Mà $BD\perp AC$, $BD\perp SA$, $AC,SA\subset (SAC)$, $AC\cap SA=A$ nên $BD\perp (SAC)$.

b) Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình vuông. Vì $BD\perp (SAC)$ nên $BD\perp SO$ và $BD\perp AO$. Do đó góc nhị diện $[S,BD,A]$ là $\widehat{SOA}$.

Tính: cạnh đáy $2$ nên $AC=2\sqrt{2}$, suy ra $AO=\sqrt{2}$. Trong tam giác vuông $SAO$ (vuông tại $A$):
$$\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SOA}=60^{\circ }.$$
Vậy số đo góc nhị diện $[S,BD,A]$ bằng $60^{\circ }$.