Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi $M$ là điểm trên đoạn $SD$ sao cho $SM=2MD$. Giá trị lượng giác tang của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0)$. Tâm đáy $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, đường cao $SO=\sqrt{1^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, nên $S(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt{2}})$. Vì $SM=2MD$ nên $M=D+\frac{1}{3}(S-D)=\left(\frac{1}{6};\frac{5}{6};\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)$. Hình chiếu của $M$ lên $(ABCD)$ là $M^{\prime }(\frac{1}{6};\frac{5}{6};0)$ thuộc $BD$. Ta có $M{M}^{\prime }=\frac{1}{3\sqrt{2}}$ và $B{M}^{\prime }=\sqrt{{\left(1-\frac{1}{6}\right)}^2+{\left(0-\frac{5}{6}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{2}}{6}$. Góc giữa $BM$ và $(ABCD)$ là góc $MB{M}^{\prime }$, nên $\tan \alpha =\frac{M{M}^{\prime }}{B{M}^{\prime }}=\frac{1/(3\sqrt{2})}{5\sqrt{2}/6}=\frac{1}{5}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn C.