Cho hình chữ nhật $OABC$ có chu vi bằng 12 được chia thành hai phần bởi parabol $(P)$ có đỉnh tại $O$ và đi qua $B$. Gọi $\Im$ là khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (phần tô đậm) xung quanh trục $Ox$ (Hình vẽ bên).
Tìm thể tích lớn nhất của khối tròn xoay $\Im$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $OC=a$, $OA=b$ với $2(a+b)=12\Rightarrow a+b=6$, tức $b=6-a$. Parabol $(P)$ có dạng $y=k{x}^2$ qua $B(a,b)$ nên $k=b/a^2$, tức $y=\frac{b}{a^2}{x}^2$. Đường thẳng $OB$: $y=\frac{b}{a}x$. Phần tô đậm giới hạn bởi $OB$ (trên) và parabol (dưới) trên $[0,a]$. Thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$:
$$V=\pi {\int }_0^a\left(\frac{b^2{x}^2}{a^2}-\frac{b^2{x}^4}{a^4}\right)dx=\pi b^2\left(\frac{a}{3}-\frac{a}{5}\right)=\frac{2\pi }{15}a{b}^2=\frac{2\pi }{15}a(6-a{)}^2.$$
Xét $f(a)=a(6-a{)}^2$ trên $(0;6)$: $f^{\prime }(a)=(6-a)(6-3a)=0\Rightarrow a=2$ (chọn, vì $a=6$ loại). Khi đó $b=4$ và $f(2)=2\cdot 16=32$ là giá trị lớn nhất (so sánh: $f\to 0$ khi $a\to 0$ hoặc $a\to 6$).
Vậy $V_{\max }=\frac{2\pi }{15}\cdot 32=\frac{64\pi }{15}$.