Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=1$ và $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=2-2x$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f(x)=m$ có hai nghiệm thực phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=2-2x$ ta có ${\left(\ln f(x)\right)}^{\prime }=2-2x$, nên $\ln f(x)=2x-x^2+C$. Vì $f(0)=1$ nên $C=0$, suy ra $f(x)=e^{2x-x^2}>0$ với mọi $x$. Xét $g(x)=2x-x^2$, có $g^{\prime }(x)=2-2x$, $g^{\prime }(x)=0\iff x=1$, $g(1)=1$ là giá trị lớn nhất; $g$ tăng trên $(-\infty ;1)$ và giảm trên $(1;+\infty )$, với $g(0)=0$. Phương trình $f(x)=m\iff e^{g(x)}=m\iff g(x)=\ln m$ (với $m>0$). Phương trình $g(x)=\ln m$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $0<\ln m<1$, tức $1<m<e$. Vậy $m\in (1;e)$.