Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình vuông cạnh $a$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau?

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp là lập phương cạnh a. Đặt hệ trục: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), mặt dưới A'(0,0,-a), B'(a,0,-a), C'(a,a,-a), D'(0,a,-a).
a) $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-a,a,0)$, tích vô hướng $-a^2+a^2=0$ nên $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Đúng.
b) $B{D}^{\prime }$ là đường chéo hình lập phương nên $B{D}^{\prime }=a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Sai.
c) $\overrightarrow{BD}=(a,a,0)$, $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(-a,0,-a)$, $\cos =\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ nên góc bằng $60^{\circ }$. Đúng.
d) Mặt bên là hình vuông nên $D{D}^{\prime }\perp AD$ và $D{D}^{\prime }\perp DC$, do đó $D{D}^{\prime }\perp (ABC)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(a,a,0)\cdot (-a,a,0)=0$ nên $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{D}^{\prime }$ là đường chéo hình lập phương: $B{D}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$, không bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\overrightarrow{BD},\overrightarrow{C{D}^{\prime }})=\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, góc bằng $60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$D{D}^{\prime }\perp AD$, $D{D}^{\prime }\perp DC$ (mặt bên là hình vuông) nên $D{D}^{\prime }\perp (ABC)$.