Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BD$. Biết $AB=CD=2a$ ; $MN=a\sqrt{3}$. Tính cosin góc giữa $AB$ và $CD$?

(AI giải đề cho tôi)
Với $M$ trung điểm $AC$, $N$ trung điểm $BD$: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})$. Suy ra $4M{N}^2=A{B}^2+C{D}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=4a^2+4a^2-2\cdot (2a)(2a)\cos \phi$, với $\phi$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$. Thay $MN=a\sqrt{3}$: $12a^2=8a^2-8a^2\cos \phi \Rightarrow \cos \phi =-\frac{1}{2}$. Góc giữa hai đường thẳng nằm trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$ nên góc giữa $AB$ và $CD$ bằng $60^{\circ }$, cosin bằng $0,5$.