Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ và $G$ là giao điểm của hai đường thẳng $B{D}^{\prime }$ và $B^{\prime }I$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $B$ làm gốc, đặt $\vec{a}=\overrightarrow{BA},\vec{b}=\overrightarrow{BC},\vec{c}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

a) Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, còn $\overrightarrow{B^{\prime }D}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$. Vậy khẳng định a) SAI.

b) $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow{BI}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$. Vì $G$ thuộc $B^{\prime }I$: $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+m\overrightarrow{B^{\prime }I}=\vec{c}+m\left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\vec{c}\right)=\frac{m}{2}\vec{a}+\frac{m}{2}\vec{b}+(1-m)\vec{c}$. Vì $G$ thuộc $B{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{BG}=t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$. Do $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ độc lập tuyến tính, so sánh hệ số: $t=\frac{m}{2}$ và $t=1-m\Rightarrow m=\frac{2}{3},t=\frac{1}{3}$. Vậy $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right)$, tức $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$. Khẳng định b) ĐÚNG.

c) Từ trên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \frac{1}{2}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Khẳng định c) SAI.

d) $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$ nên $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)$. Ta có $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=-\vec{b}+\vec{c}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{CB}=-\vec{b}$. Do đó $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(-\vec{b}-\vec{b}+\vec{c}+\vec{a}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Khẳng định d) ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (trang 11-12): a) SAI, b) ĐÚNG, c) SAI, d) ĐÚNG.
a) Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, không phải $\overrightarrow{B^{\prime }D}$ (vì $\overrightarrow{B^{\prime }D}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$). Vậy khẳng định a) SAI.
b) Chọn $B$ làm gốc, đặt $\vec{a}=\overrightarrow{BA},\vec{b}=\overrightarrow{BC},\vec{c}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Vì $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow{BI}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$. Gọi $G$ thuộc $B^{\prime }I$: $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+m\overrightarrow{B^{\prime }I}=\vec{c}+m\left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\vec{c}\right)=\frac{m}{2}\vec{a}+\frac{m}{2}\vec{b}+(1-m)\vec{c}$. Gọi $G$ thuộc $B{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{BG}=t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$. Do $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ độc lập tuyến tính, so sánh hệ số suy ra $t=\frac{m}{2}$ và $t=1-m\Rightarrow m=\frac{2}{3},t=\frac{1}{3}$. Vậy $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right)$, tức $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$. Khẳng định b) ĐÚNG.
c) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$ nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, không phải $\frac{1}{2}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Khẳng định c) SAI.
d) $G$ là trọng tâm tam giác $B{B}^{\prime }D$ nên $\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}\right)=\frac{1}{3}\left(-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BA}\right)$. Khẳng định d) ĐÚNG.