Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=3a,AD=a,A{A}^{\prime }=3a$. Góc phẳng nhị diện $\left[A^{\prime },BD,A\right]$ bằng bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(3a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A^{\prime }(0,0,3a)$ (lấy $a=1$). Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $BD$. Với $\overrightarrow{BD}=(-3,1,0)$, ta có $t=\frac{(A-B)\cdot (D-B)}{|BD{|}^2}=\frac{9}{10}$, suy ra $H=(0,3a;0,9a;0)$. Khi đó $AH\perp BD$ và $A^{\prime }H\perp BD$ (theo định lý ba đường vuông góc, vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$), nên góc nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$ là góc $A^{\prime }HA$.

Tính: $AH=\sqrt{0,09+0,81}a=\frac{3a}{\sqrt{10}}$, $A^{\prime }H=\sqrt{0,9+9}a=\sqrt{9,9}a=\frac{3\sqrt{11}}{\sqrt{10}}a$.

$$\cos \widehat{A^{\prime }HA}=\frac{\overrightarrow{HA}\cdot \overrightarrow{H{A}^{\prime }}}{|AH|\cdot |A^{\prime }H|}=\frac{0,9a^2}{\frac{3a}{\sqrt{10}}\cdot \frac{3\sqrt{11}a}{\sqrt{10}}}=\frac{0,9}{\frac{9\sqrt{11}}{10}}=\frac{1}{\sqrt{11}}.$$

Vậy góc nhị diện $=\arccos \frac{1}{\sqrt{11}}\approx 72,45^{\circ }\approx 72,5^{\circ }$.

Kiểm tra bằng pháp tuyến: mặt $(ABD)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$; mặt $(A^{\prime }BD)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{B{A}^{\prime }}\parallel (1,3,1)$; $\cos =\frac{1}{\sqrt{11}}$ — khớp với đáp án nguồn $72,5$.