Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$. Biết $A{A}^{\prime }=BC=a\sqrt{2}.$

- a) Ta có $AB=AC=a$, diện tích đáy $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}{a}^2$. Chiều cao $A^{\prime }H=\frac{4a}{3}$. Do đó thể tích lăng trụ $V=S_{\Delta ABC}\cdot A^{\prime }H=\frac{1}{2}{a}^2\cdot \frac{4a}{3}=\frac{2a^3}{3}\ne \frac{2a^3}{9}$. Mệnh đề Sai.
- b) Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $AM=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{2}}{3}$. Chiều cao $A^{\prime }H=\sqrt{A{A}^{\prime 2}-A{H}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{2a^2}{9}}=\frac{4a}{3}$. Mệnh đề Đúng.
- c) Vì $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $d(B{B}^{\prime },AC)=d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))$. Đường thẳng $BH$ cắt $AC$ tại trung điểm $N$ với $\frac{BN}{HN}=3$, suy ra $d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=3d(H,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))$. Mệnh đề Đúng.
- d) Kẻ $HK\perp AC\Rightarrow HK=\frac{1}{3}AB=\frac{a}{3}$. Kẻ $HI\perp A^{\prime }K\Rightarrow d(H,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=HI=\frac{A^{\prime }H\cdot HK}{\sqrt{A^{\prime }{H}^2+H{K}^2}}=\frac{\frac{4a}{3}\cdot \frac{a}{3}}{\sqrt{\frac{16a^2}{9}+\frac{a^2}{9}}}=\frac{4a}{3\sqrt{17}}$. Do đó $d(B{B}^{\prime },AC)=3HI=\frac{4a}{\sqrt{17}}=\frac{4a\sqrt{17}}{17}\ne \frac{4a\sqrt{17}}{51}$. Mệnh đề Sai.