Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$, $\widehat{A^{\prime }AB}=120^{\circ }$, $\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $N$ là điểm trên cạnh $B{B}^{\prime }$ sao cho $BN=\frac{2}{3}B{B}^{\prime }.$

Dựa vào tính chất lăng trụ và quy tắc vectơ:
- a) Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }M}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }N}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Khi nhân vô hướng với các góc $\widehat{A^{\prime }AB}=120^{\circ }$, $\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$, $\widehat{BAC}=60^{\circ }$ ta được $\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }N}=\frac{4a^2}{3}$. Mệnh đề Đúng.
- b) Do $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$. Mệnh đề Đúng.
- c) Vì $N\in B{B}^{\prime }$ và $BN=\frac{2}{3}B{B}^{\prime }$ nên $B^{\prime }N=\frac{1}{3}B{B}^{\prime }$, suy ra $\overrightarrow{NB}$ và $\overrightarrow{N{B}^{\prime }}$ ngược hướng và $|\overrightarrow{NB}|=2|\overrightarrow{N{B}^{\prime }}|$, tức $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}$. Mệnh đề Đúng.
- d) $\overrightarrow{A^{\prime }M}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, suy ra $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2},z=-1$. Khi đó $x+y=1\ne z=-1$. Mệnh đề Sai.