Cho hàm số $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

Ta viết lại $y=x-2+\frac{3}{x+1}$ với $x\ne -1$:
- a) Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=3\iff x=-1\pm \sqrt{3}$. Đạo hàm đổi dấu qua hai nghiệm này nên hàm số có cực đại và cực tiểu. Mệnh đề Đúng.
- b) Tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận xiên là $y=x-2$. Giao điểm hai đường tiệm cận là $I(-1;-3)\ne (-1;3)$. Mệnh đề Sai.
- c) Tiệm cận xiên $y=x-2$ cắt trục hoành tại $A(2;0)$ và cắt trục tung tại $B(0;-2)$. Diện tích tam giác vuông $OAB$ là $S=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Mệnh đề Đúng.
- d) Lấy điểm $M$ thuộc nhánh phải: $M\left(-1+a;-3+a+\frac{3}{a}\right)$ với $a>0$. Khoảng cách $I{M}^2=a^2+{\left(a+\frac{3}{a}\right)}^2=2a^2+\frac{9}{a^2}+6\ge 2\sqrt{2a^2\cdot \frac{9}{a^2}}+6=6\sqrt{2}+6$. Diện tích hình vuông $S=2I{M}^2\ge 12(\sqrt{2}+1)\ne 12(\sqrt{2}-1)$. Mệnh đề Sai.