Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1201 (Phần II Câu 2: DDSD): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Kiểm tra d): với tọa độ $A=(0;0;0)$, $B=(a;0;0)$, $C=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $A^{\prime }=(0;0;a\sqrt{2})$ ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\sqrt{2}\right)$, tích vô hướng bằng $\frac{3a^2}{2}$, độ dài mỗi vectơ bằng $a\sqrt{3}$, nên $\cos =\frac{1}{2}$, góc giữa hai vectơ bằng $60^{\circ }$ → Đúng. c) Sai vì $\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{3a^2}{4}\ne \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.