Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, $O$ là tâm hình vuông $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.
a) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{AC}{|}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=2a^2+0=2a^2\ne a^2$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, khác biểu thức đề cho → Sai.
d) $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=(-\overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AD}=-a^2$. Với $|\overrightarrow{D{A}^{\prime }}|=|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, $\cos (\overrightarrow{D{A}^{\prime }},\overrightarrow{AC})=\frac{-a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}$, góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → Sai.
Kết quả khớp bảng hướng dẫn chấm (Đề 2, Câu 4: SĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{AC}{|}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=2a^2\ne a^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DO}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, khác biểu thức đề cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AC}=-a^2$, $\cos =-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }\ne 45^{\circ }$.