Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $O,O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hình vuông $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a),B^{\prime }(a;0;a),C^{\prime }(a;a;a),D^{\prime }(0;a;a)$, nên $O(a/2;a/2;0)$.
a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }}-\overrightarrow{D}=(a;0;a)$, tích vô hướng $=a^2\ne \frac{a^2}{2}$ → sai.
b) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-a;a;0)$, tích vô hướng $=-a^2\ne -\frac{a^2}{2}$ → sai.
c) $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(0;0;-a)$, $\overrightarrow{C^{\prime }C}=(0;0;-a)$, $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, tổng $=(a;0;-2a)$, độ dài $=a\sqrt{5}\ne a\sqrt{3}$ → sai.
d) $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2};a)$, $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(\frac{a}{2};-\frac{a}{2};a)$, $\overrightarrow{O{C}^{\prime }}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};a)$, $\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};a)$; tổng $=(0;0;4a)$, độ dài $=4a$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a^2\ne \frac{a^2}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=-a^2\ne -\frac{a^2}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng vecto là $(a;0;-2a)$, độ dài $a\sqrt{5}\ne a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bốn vecto bằng $(0;0;4a)$, độ dài bằng $4a$.